MODEL INDEKS TUNGGAL (Single Index Model)

William Sharpe (1963) mengembangkan model yang disebut dengan model indeks tunggal (single-index model). Model ini dapat digunakan untuk menyederhankan perhitungan. disamping itu, model indeks tunggal dapat juga digunakan untuk menghitung return ekspektasi dan resiko portofolio.

1.         Model Indeks Tunggal dan Komponen Returnnya

Model indeks tunggal didasarkan pada pengamatan bahwa sekuritas berfluktuasi searah dengan indeks harga pasar. Secara khusus dapat diamati bahwa kebanyakan saham cenderung mengalami kenaikan harga jika indeks harga saham naik. Kebalikannya juga benar, yaitu jika indeks harga saham turun, kebanyakan saham mengalami penurunan harga. Hal ini menyarankan bahwa return-return sekuritas mungkin berkorelasi karena adanya reaksi umum (common response) terhadap perubahan-perubahan nilai pasar. Dengan dasar ini, return dari suatu sekuritas dan return dari indeks pasar yang umum dapat dituliskan sebagai hubungan :

R_i = a_i + β_i.R_m

Keterangan :

R_i = return sekuritas i,

a_i = adalah bagian dari keuntungan saham i yang tidak dipengaruhi oleh perubahan pasar. Variabel ini merupakan variable yang acak

β_i = adalah beta, yaitu parameter yang mengukur perubahan yang diharapkan pada Ri jika terjadi perubahan pada R_m.

R_m = adalah tingkat keuntungan indeks pasar. Variable ini merupakan variable yang acak.

Parameter a_i menunjukkan komponen tingkat keuntungan yang tidak terpengaruh oleh perubahan indeks pasar. Parameter ini bisa dipecah menjadi dua yaitu αi (alpha) yang menunjukkan nilai pengharapan dari ai dan ei yang menunjukkan elemen acak dari ai. Dengan demikian maka :

a_i = α_i + e_i

Subtitusikan persamaan diatas kedalam rumus sebelumnya, maka didapatkan persamaan model indeks tunggal sebagi berikut :

R_i = α_i + β_i . R_M + e_i

Keterangan :

α_i = nilai ekspektasi dari return sekuritas yang independen terhadap return pasar,

e_i = kesalahan residu yang merupakan variabel acak dengan nilai ekspektasinya sama

dengan nol atau E (e_i)=0.

Persamaan tersebut hanyalah memecah tingkat keuntungan suatu saham menjadi dua bagian, yaitu yang independen dari perubahan pasar dan yang dipengaruhi pasar. βi menunjukkan kepekaan tingkat keuntungan suatu saham terhadap tingkat keuntungan indeks pasar. βi sebesar 2 menunjukkan bahwa kalau terjadi kenaikan (penurunan) tingkat keuntungan indeks pasar sebesar 10% maka akan terjadi kenaikan (penurunan) Ri sebesar 20%.

Bentuk return ekspektasi (expected return). Return ekspektasi dari model ini dapat diderivasi dari model sebagai berikut :

E(R_i)= E (α_i + β_i . R_M + e_i)

Nilai ekspektasi dari suatu konstanta adalah bernilai konstanta itu sendiri, mak E(α_i) = α_i dan (βi.RM) = β_i.E(R_M) dan secara konstruktif nilai E(e_i) = 0, maka return ekspektasi model indeks tunggal, deviasi tingkat keuntungan dan covariance dapat dinyatakan sebagai :

1. Tingkat keuntungan yang diharapkan :

E(R_i) = α_i + β_i . E(R_M)

2. Variance tingkat keuntungan :

σ_i² = βi² . σ_m² + σe_i²

3. Covariance tingkat keuntungan sekuritas i dan j :

σ_ij = β_{i .}β_j .σm²

2.         Asumsi-Asumsi

            Asumsi-asumsi utama dari model indeks tunggal adalah kesalahan residu dari sekuritas ke-i tidak berkovari dengan kesalahan residu sekuritas ke-j. Asumsi model indeks tunggal dapat dirumuskan:

                                                            E(e_i. [R_M . E(R_M)])= 0

          Asumsi-asumsi dari model indeks tunggal mempunyai implikasi bahwa sekuritas-sekuritas bergerak bersama-sama bukan karena efek pasar melainkan karena mempunyai hubungan yang umum terhadap indeks pasar. Asumsi-asumsi ini digunakan untuk menyederhanakan masalah.

3.         Varian Return Sekuritas Model Indeks Tunggal

            Secara umum, varian return dari suatu sekuritas dapat dinyatakan sebagai berikut: 

                                                             σ_i² = βi² . σ_m² + σe_i²

                Risiko (varian return) sekuritas yang dihitung berdasarkan model ini terdiri dari dua bagian: risiko yang berhubungan dengan pasar (market related risk) yaitu βi² . σ_m²  dan risiko unik masing-masing perusahaan (unique risk) yaitu σ_ei² 

4.         Kovarian Return Antara Sekuritas Model Indeks Tunggal

            Secara umum, kovarian return antara dua sekuritas i dan j dapat dirumuskan:

                                                            σ_ij= βi. Βi. σ_M²

5.         Parameter-Parameter input untuk Model Markowitz

            Model indeks tunggal dapat digunakan untuk menghitung return ekspektasian (E(R)) , varian dari sekuritas σ_ei²   dan kovarian anatar sekuritas (σ_ij) yang merupakan parameter-parameter input untuk analisis portofolio menggunakan model Markowitz. Model Markowitz ini digunakan untuk menghitung return ekspektasian dan risiko portofolio dengan menggunakan hasil indeks tunggal sebagai input perhitungan Model Markowitz.